详解PMSM中常用的两种坐标变换

发布时间:2023-02-02  

前两期介绍了Clarke的Park变化的基本原理,但是经过这两种变换后会存在两种系数,相信大家都很迷惑,这是什么原因? 主要原因是存在两种遵循的方式:1、变换前后电流所产生的旋转磁场等效且电机输出功率不变; 2、变换前后电流所合成的空间矢量等效且电机输出功率不变。 这两种最后方式是造成系数不同的根本原因,实际应用中可以根据需要选择相应的变换等效原则。


这一期设计的理论计算能力比较强,强烈建议观看的小伙伴找个安静的角落,哪张纸和笔进行计算!


01依据旋转磁场等效变换

遵循的两个原则:

a、变换前后电流所产生的旋转磁场等效;

b、变换前后两系统的电机输出功率不变;

1.1、Clarke变换

图1-1是ABC和αβ两个坐标系,取α轴与A轴重合,并假定三相绕组每相有效线圈匝数为N3,两相绕组每相有效线圈匝数为N2,两种坐标系中每相的磁动势均为有效线圈匝数与该相电流的乘积。

poYBAGPCXuWAU2PTAAAk9Wvxle4097.jpg

图1-1 Clarke坐标变换矢量示意图1

由图1-1得出磁势守恒式子为:

poYBAGPCXuWAWHYoAAAJkI4kHwU711.jpg

由式(1.1)变形化为矩阵形式为:

poYBAGPCXuSAdBbUAAAJnj3x7tY860.jpg

为了方便分析,引入零轴变量为:

poYBAGPCXuWAaAJEAAAFkPERu7k722.jpg

将式(1.3)合并到式(1.2)可以得到αβ0轴坐标系方程为:

pYYBAGPCXuWAf9jHAAALg_yXlkg447.jpg

这里定义Clarke矩阵为:

poYBAGPCXuSADgSaAAAJ8HIWM_w446.jpg

坐标变换中需要确保电机输出功率不能发生变化,故功率计算表达式为:

pYYBAGPCXuWAFnJDAAAPf2vHtUA717.jpg

为了确保变换前后输出功率不变化,可以其中参数求得:

poYBAGPCXuWAep6UAAAGO5lu3vU964.jpg

因此Clarke变换式为:

poYBAGPCXuSAbG2bAAAKS0UFFmY217.jpg

1.2、Park变换

图1-2是两相旋转坐标系转速w随着电机转子转动,αβ是两相静止坐标系,dq是两相旋转坐标系。

pYYBAGPCXuSACXU8AABCqvCttnw124.jpg

图1-2 Park坐标变换示意图1

由第二期内容可知,Park变换式为:

poYBAGPCXuWAPZMwAAAGTiH3W8M230.jpg

1.3、功率计算

电机功率可以计算为:

pYYBAGPCXuSAEq9oAAAG17XbzAg299.jpg

02依据空间矢量等效变换

遵循的两个原则:

a、变换前后电流所合成的空间矢量等效;

b、变换前后两系统的电机输出功率不变;

2.1、Clarke变换

图2-1中空间矢量Is在αβ轴上的投影分别为ia、iβ,且与A轴夹角为φ。

pYYBAGPCXuWASp91AAAehpqtvPk767.jpg

图2-1 Clarke坐标变换矢量示意图2

根据图2-1所示可以得到三相电流与空间矢量Is关系式为:

pYYBAGPCXuWAPowJAAAIBaT0LTE570.jpg

同理可以得到两相静止坐标系中电流ia、iβ与空间矢量Is关系式为:

pYYBAGPCXuSAXCsyAAAGDIp7ISg984.jpg

根据三角恒等式:

pYYBAGPCXuWAIsrJAAAJ4N79xGw582.jpg

根据三角恒等式(1.13)将式(1.12)变化为:

poYBAGPCXuSAIHG1AAALcCyyinE318.jpg

写成矩阵形式为:

poYBAGPCXuWAWIp1AAAJFoBVXaA729.jpg

同样,引入零轴变量:

pYYBAGPCXuWAQgJJAAADmRkipro455.jpg

将式(1.16)代入式(1.15)中可以得到新的矩阵形式为:

poYBAGPCXuWAXrdwAAAK4NZDNig170.jpg

那么Clarke变换矩阵为:

pYYBAGPCXuSAI6YHAAAJDeeMh98518.jpg

2.2、Park变换

同样,图2-2是两相旋转坐标系转速w随着电机转子转动,αβ是两相静止坐标系,dq是两相旋转坐标系。

poYBAGPCXuWAFcR7AABCdmKKVL0306.jpg

图2-2 Park坐标变换示意图2

由第二期内容可知,Park变换式为:

pYYBAGPCXuWAegecAAAGaa8DmIY201.jpg

2.3、功率计算

电机功率可以计算为:

pYYBAGPCXuWAQyC3AAAH578Uvrg067.jpg

03总结

由磁动势守恒计算出的电机功率为:

poYBAGPCXuWAPQgRAAAG7S7o9m8349.jpg

由空间矢量守恒计算出的电机功率为:

pYYBAGPCXuWAIEHXAAAH7hzJaAg380.jpg

两种变换存在一个3/2的系数区别,主要是各自采用了不同的变换形式,最后得出的功率都是对的!


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