Clarke变换是“矢量坐标变换”中的一种变换方式,在永磁同步电机中,电动机的定子磁场是由定子的三相绕组的磁动势产生的,根据电动机旋转磁场理论就知,向对称的三相绕组中通以对称的三相正弦电流时,就会产生合成的磁动势,并以w的速度在空间中旋转。所以,为了简化交流电机的分析方法,Clarke提出了一种以电机定子为静止参考系的电机参数变换分析方式,即依据功率不变和磁势不变的原理,将定子三相物理量从三维坐标转换到二维坐标,简称3S/2S变换,其中S表示静止。
在PMSM中建立合适的坐标系
图1-1中两个坐标系,其中ABC是PMSM静止坐标系,另一个坐标系是PMSM经过Clarke要变换后的坐标系:
图1-1 Clarke坐标变换示意图
图1-1中PMSM三相绕组每相的有效线圈匝数为N3,两相绕组每相有效线圈匝数为N2,两种坐标系中每相的磁动势均为有效线圈匝数与该相电流的乘积。
原理分析
矢量坐标变换就是用磁势或者电流空间矢量来描述等效的三相磁场、两相磁场和旋转直流磁场,并对它们进行坐标变换。因此矢量坐标变化必须要遵循以下两个原则:
1、变换前后电流所产生的旋转磁场等效;
2、变换前后两系统的电动机功率不发生变化。
根据矢量变换原则,Clarke变换前后的磁场应该完全等效,即合成的磁势矢量分别在两个坐标系坐标轴上的投影应该相等。设磁动势是正弦分布的,当三相总磁动势与两相总磁动势相等时,两套绕组瞬时磁动势在两相坐标系上的投影都应相等。
因此根据图1-1可以得出磁势守恒的式子为:
将式(1.1)变形又可化为矩阵形式为:
因为式(1.2)中矩阵不是方阵不能求的逆矩阵,所以需要引入新变量零轴电流:
将式(1.3)和式(1.2)合并可以得到两相坐标系方程为:
所以定义Clarke矩阵为:
Clarke最终表达形式
其中Clarke矩阵的转置矩阵为:
Clarke矩阵的逆矩阵为:
在Clarke变换下需要保证发电机的输出功率在变换前后不能发生变换,因此计算公式为:
由式(1.8)可知,为了确保变换前后输出功率不变化,可以其中参数求得:
因此,Clarke变换式为:
如果忽略零轴变量,那么Clarke变换式又可化为:
Clarke如何应用
如何得到永磁同步电机在静止两相坐标的电机电压方程?
永磁同步电机的定子电压方程在三相静止坐标系下为:
将式(1.12)乘以Clarke矩阵可以得到永磁同步电机在两相静止坐标系下的电机电压方程为: