该项目涵盖了两种引人入胜且有用的电路设计技术——伯顿变换和对偶——使我们能够在构建音频噪声滤波器的同时，将无源网络转换为有源网络。

之前，我介绍了一种“468-4”音频滤波器的设计，它实现了标准化的噪声测量，近似于对人们听音乐和说话的主观评估。

如该文章所述，有两种主要方法可以制作，该滤波器提供468-4频率响应并与现代音频设备的阻抗水平相匹配：

将6.3kHz左右的传统低通和高通合并。

使用巧妙的数学技术从无源电路推导出有源电路。

我之前介绍了第一种方法，现在本文将介绍第二种方法。

468-4无源滤波器的独创设计

作为一个快速复习，图1的网络是在20世纪50年代开发的，旨在提供所需的频率响应，用于阻抗为600Ω的音频系统。

用于600Ω电路的468-4滤波器的无源网络实现

图1。用于600Ω电路的468-4滤波器的无源网络实现（点击放大）。

源和负载电阻器分别显示在左侧和右侧，但没有信号源。这种电路需要在输出端有一个放大器来补偿其显著的插入损耗。

电感器电阻的影响

规范的频率响应可能是通过测量受电感器损耗影响的原始网络来确定的。

该规范要求电感器Q因子在10kHz时超过200，但这不是一个足够的规范，原因有两个：

电感器具有串联电阻和（如果不是空心的）并联损耗电阻，但我们不知道每个电阻的大小。

并联损耗与频率有关，因此无法通过固定电阻器完全建模。

对电感器的研究表明，在最低允许电感器Q为200的情况下，串联和并联电阻之间的损耗分布对频率响应的影响非常小，即使在临界的6kHz至14kHz范围内也是如此。对于没有电阻损耗的理想电感器也是如此。为了使并联电容产生任何影响，它们必须在纳法拉范围内，当然，它们不是。

电容器变化的影响

说明书还指出，33.06nF电容器的值可能需要调整，以满足频率响应的规定公差极限。我已经使用LTspice模拟研究了这些影响。将33.06 nF电容器改变±5%的影响可以忽略不计（微珠！）。

模拟组件变化的影响

在模拟中，我们可以在±5%的公差范围内改变组件。所有网络变体的频率响应如图2所示，规格限制以黄色突出显示。

改变分量值对无源网络468-4音频噪声滤波器的频率响应几乎没有影响

图2:改变分量值对无源网络468-4音频噪声滤波器的频率响应几乎没有影响（点击放大）。

如图2所示，频率响应作为部件公差的函数变化不大，所有变体都符合规范。

小心插值

然而，您可能会注意到图2的频率响应曲线中以11 kHz为中心的奇怪驼峰。在上一篇文章的模拟和测量中也可以看到这种隆起。这看起来像是一个数据错误，但数据是正确的。

原因是我在模拟中复制了频率响应规范中从10 kHz到12.5 kHz的大步。频率步长模拟中的这一大的8.1dB步长迫使模拟绘图工具对数据进行插值以绘制曲线。

10kHz和12.5kHz之间的线性插值在11kHz下给出4.63dB的响应，而所有模拟网络的响应都非常接近5.30dB。如果我们在模拟中添加额外的频率步长，那么11 kHz的光点几乎消失了，如图3所示。

增加额外的频率步长可以减少插值并消除响应曲线中的驼峰

图3。添加额外的频率步长可以减少插值，并消除响应曲线中的驼峰（单击放大）。

剩余的波峰和波谷是由于频率响应规范中的舍入效应造成的。因此，最好将构建和测量的滤波器的结果与模拟无源网络的频率响应进行比较，这两种滤波器都具有非常小的舍入误差。

将被动网络转变为主动网络

众所周知，您可以通过将所有组件阻抗除以固定比例因子来“缩放”任何RLC网络。只要源阻抗和负载阻抗包括在计算中，频率响应就不会改变。

1968年，伦纳德·布鲁顿证明，如果比例因子是虚的（包括j，负1的平方根），布鲁顿变换过程仍然有效。如果我们包括角频率ω，它的工作效果特别好：

等式1。

解释

f是以赫兹为单位的频率。

用虚角频率缩放电感器

我们将把所有的分量除以比例因子jω。让我们从检查阻抗为jωL的电感器的变化开始。

等式2。

不要被L这个词的使用所欺骗。这个阻抗与频率无关，这意味着它是一个电阻值为L的电阻器。在我们的电路中用电阻器代替电感器将节省成本！

用虚角频率缩放电阻器

现在，让我们看看当我们将电阻器除以比例因子jω时会发生什么。

等式3。

这将使我们的电阻器变为电容值为（1/R）的电容器。您可以将这个值识别为我们原始电阻器的电导G。

用虚角频率缩放电容器

最后，让我们把电容器的阻抗除以比例因子jω。

等式4。

这个结果看起来不太有希望。这是一个数学上真实的阻抗（没有“j”），电压与电流同相，就像电阻器一样，但它是负的，并且与频率有关。

它可以被称为频率相关负电阻器（FDNR）或“D元件”这是一个向普通电阻器提供能量的有源元件，因此需要电源。幸运的是，它可以由运算放大器、电阻器和电容器构成。

使用对偶变换电路原理图

如果我们回到图1，我们可以看到C3的两端都没有接地。当它被转换为D元件时，这将产生一个真正的问题，因为这需要一个浮动电源。在我们进行伯顿变换之前，我们可以用另一个数学技巧和电路的对偶性质来克服C3问题。

在这个“双重化”的过程中，我们可以通过进行以下更改来转换示意图。

电压源↔ 电流源

电感↔ 电容

反对↔ 电导

系列↔ 平行的

电感和电容改变了它们的性质——它们储存能量的方式以及它们的阻抗如何随频率变化。电阻和电导不会改变它们的性质，所以我们可以将它们视为任何一种形式，而不会引入误差。

组件的数值不会改变，尽管结果可能包括不可行的值（但稍后可以固定）。所得到的示意图将具有相同的频率响应。

如果我们将对偶过程应用于图1的468-4滤波器电路，我们必须包括源和负载电阻器。这些电阻器的电导率从600Ω转换为600 S（西门子），相当于1.667 mΩ的电阻器。

在468-4滤波器电路上完成我们的双重转换，得到了图4底部所示的新示意图。我已经复制了图4顶部的原始电路，所以您可以更容易地看到对偶变换。

原装468-4音频噪声滤波器（顶部）和双无源网络版本（底部）

图4。原装468-4音频噪声滤波器（顶部）和双无源网络版本（底部）（点击放大）。

很明显，以纳米亨、毫欧姆和毫法拉为单位的元件值，这是一个非常低阻抗的网络。不用担心，我们可以解决这个问题！

使用Bruton变换缩放分量值

现在，我们来谈谈另一个聪明的地方：使用Bruton变换转换组件值。我们可以引入一个新的因子来将所有组件值缩放到更方便的值。

我们将首先将1.667 mS的源和负载电导转换为1 nF的合理电容器大小。如前所述，Bruton变换使用以下方程将电阻器转换为电容器：

等式5。

现在，让我们计算一下比例因子：

比例因子

等式6。

不要担心这是一个非常高的数字；这只是一个比例因子。

将电阻器值除以比例因子，得到电容器值（等效地，将电导值乘以比例因子）。

将电容器值除以比例因子，得到D值。

多个电感值通过比例因子得到电阻值。

图5是我们在所有电路元件上完成Bruton变换后的电路。

D元素没有一个标准的单位名称，但我们只会称之为bruton，并给它一个符号Br。我们得到的D值是以femtobutons为单位的，但没关系。我们可以使用可感测的元件值由运算放大器、电阻器和电容器制成。请注意，它们的阻抗只是负电阻器，具有以欧姆为单位的频率相关值。

用于负电阻的广义阻抗转换器

我们将使用通用阻抗转换器（GIC）创建我们的D元件。对它们如何工作的解释相当长，而且是数学性的（简单的数学，但很多）。

GIC示意图如图6所示。

通用阻抗转换器原理图。

图6。通用阻抗转换器原理图。

GIC端子之间的阻抗Z由以下公式给出：

等式7。

我们需要一个串联链中有两个电容器和三个电阻器的GIC，如图7所示。

带有元件值的最终D元件示意图

图7。带有元件值的最终D元件示意图（单击放大）。

我们再次为电容器C1和C2选择了1nF的方便值。同样，R1和R2在10kΩ（另一个方便的值）下选择。

必须计算R3值，以便在图6的示意图中给出两个D元素的正确值，使用：

等式8。

等式9。

我们得到的R3值与R1和R2具有相同的数量级。

用LTspice模拟我们的滤波器设计

我们现在可以使用LTspice来模拟我们的过滤器，以检查它是否按预期工作。图8显示了LTspice示意图，其中还包括无源滤波器作为参考。

468-4音频噪声滤波器的LTspice模拟示意图

图8。468-4音频噪声滤波器的LTspice模拟示意图（点击放大）。

示意图显示了电阻器的精确值，可以由E12±1%公差电阻器的串联或并联组合制成。我使用TL07x运算放大器进行此模拟。

这种类型的滤波器实现被声称比使用传统滤波器部分的实现更能容忍组件值。然而，这是一个过于复杂的问题，不能在这里讨论。

图9显示了模拟的结果。

模拟响应与468-4音频噪声滤波器参考值和规定公差的偏差

图9。模拟响应与468-4音频噪声滤波器参考和指定公差的偏差（点击放大）。

显然，高达10kHz的结果非常好，并且在高达31.5kHz的较低容差内保持，但它确实下降了。这是由于运算放大器的带宽有限。使用更快的运算放大器（如NE5532）可以获得更好的结果，但这些运算放大器需要更多的供电电流。

关于电路稳定性的警告

最终，我决定使用LM4562运算放大器进行硬件设计（如下所示）。当使用速度快得多的运算放大器时，由于复杂的闭环配置，存在其中一个GIC变得不稳定的真正风险。

当使用任何Spice或类似的模拟工具时，强烈建议除了运行频域扫描（Spice中的.AC）外，还运行时域模拟（在Spice中称为.TRAN）。这个交流频率模拟无法检测到振荡。内部振荡的一个很好的指标是。TRAN模拟运行非常缓慢。

最终测试：构建468-4音频噪声滤波器

关键的测试是在现实世界中构建过滤器并测量其性能。图10显示了硬件原理图，它是我之前的宽带电压计项目的附加组件。

使用LM4562运算放大器的468-4音频噪声滤波器示意图

图10。使用LM4562运算放大器的468-4音频噪声滤波器的示意图（单击放大）。

此设计包括与先前音频噪声滤波器设计中所展示的相同的增益调整电路。然而，该滤波器的增益变化范围预计较小。

图11显示了真实电路的频率响应与无源电路的模拟响应的比较。偏差只能检测到，而且只是分贝的一小部分。成功

模拟的无源和测量的有源音频噪声滤波器响应

图11。模拟的无源和测量的有源音频噪声滤波器响应（点击放大）。

这就是目前所有的过滤器。是时候让我做一些不同的事情了。